二项式定理
若你把一个二项式乘以自己……很多次，你会得到什么？
答案：
别着急……下面我会解释！
并且你会学到很多很酷的数学符号。
二项式
二项式是有二项的多项式
二项式例子
乘
二项式定理告诉我们把一个二项式乘以自己（次数不限）会得到什么。
二项式定理是基于一个规律……我们现在去发现它。
指数
首先你要了解指数是什么。
这是个简单的概要：
指数是指有多少个自己相乘。
例子：82 = 8 × 8 = 64
指数是1代表只有一个项，所以就是原来的值：
例子：81 = 8
指数是0代表一个项都没有，所以答案是 1：
例子：80 = 1
(a+b) 的指数
现在我们来看二项式。
我们用这个简单的二项式：a+b，但其实用任何二项式都可以。
从指数为0的情形开始。
指数为 0
当指数为 0，答案是 1：
(a+b)0 = 1
指数为 1
当指数为 1，答案是原项不变:
(a+b)1 = a+b
指数为 2
指数为 2 的意思是把两个自己相乘（看怎样乘多项式）：
(a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + 2ab + b2
指数为 3
当指数为 3，我们再乘一次：
(a+b)3 = (a+b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
我们现在可以讲这里的规律了。
规律
上面最后的结果是：
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
你可以看到 a 的指数是从 3 开始，然后向下走： 3、2、1、0：
b 的指数就向上走： 0、1、2、3：
若我们把项标志为 0 到 n，便会是这样：
k=0
k=1
k=2
k=3
a3
a2
a
1
1
b
b2
b3
这可以写成：
an-kbk
看一个例子：
例子： 指数 n 为 3。
项是：
k=0:
k=1:
k=2:
k=3:
an-kbk
= a3-0b0
= a3
an-kbk
= a3-1b1
= a2b
an-kbk
= a3-2b2
= ab2
an-kbk
= a3-3b3
= b3
惊艳！
系数
现在我们已得到了：
a3 + a2b + ab2 + b3
但真正需要的是：
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
我们还没有项前面的那些数（叫系数）。
我们再来看看上面所有的结果，从(a+b)0到 (a+b)3:
现在只看系数（如果系数没写出来，系数便是 "1"）：
系数形成一个杨辉三角！
每个数是它上面的两个数的和（边缘除外，边缘上全是 "1"）
（在这里我标出了 1+3 = 4）
我们现在勇敢地试试以 4 为指数：
a 的指数是 4、3、2、1、0：
a4
+
a3
+
a2
+
a
+
1
b 的指数是 0、1、2、3、4：
a4
+
a3b
+
a2b2
+
ab3
+
b4
系数 是 1、、4、6、4、1：
a4
+
4a3b
+
6a2b2
+
4ab3
+
b4
这是正确的答案。
大功告成！
我们可以用和规律来展开指数为 5、6、7、……50、……112……的二项式，任何指数！
这规律是二项式定理的精髓。
现在你可以打个盹。
醒来后自己来试试展开 (a+b)5。
答案 （悬停鼠标）：a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
公式
最后我们把这规律写成一个公式。
可是， "在杨辉三角里找系数" 怎样写成公式……？
其实是有这个方程的：
通常这叫 "n选取k"，因为它是在n个里选取k个的不同方式的数目。
你可以在
组合和排列里了解更多
"!" 代表 "阶乘"，例如 4! = 4×3×2×1 = 24
和杨辉三角相对是这样：
（注意：最上一行是零行，
左边第一行也是零行！）
例子：杨辉三角里第4行，第2项是 "6".
我们来看看这公式对不对：
是对的！你自己去用另一个值来试试。
全部放在一起
最后我们把全部放在一起成为一个公式。
可是这里有很多东西……真的可以用一个公式写下来吗？
当然可以！我们可以用总和符号来显示不限数量的项的和：
总和符号
现在用一个公式写下来：
二项式定理
应用
来看看例子。
我们用来做 n = 3：
其实……通常只要记着规律就会很容易：
第一项的指数从 n 开始，然后向下走
第二项的指数从 0 开始，然后向上走
从杨辉三角里找系数，或用 n!/(k!(n-k)!) 来计算
像这样：
例子：(x+5)4是什么？
从指数开始：
x450
x351
x252
x153
x054
加上系数：
1x450
4x351
6x252
4x153
1x054
然后写下答案（包括所有计算，例如 4×5, 6×52等）：
(x+5)4 = x4 + 20x3 + 150x2 + 500x + 625
有时你只需要其中一项：
例子：在 (2x+4)8里，x3的系数是什么？
x3的指数是：
(2x)345
系数是 "8选取5"。我们用杨辉三角或直接计算：
n!k!(n-k)! = 8!5!(8-5)! = 8!5!3! = 8×7×63×2×1 = 56
我们得到：
56(2x)345
简化为：
458752 x3
很大的系数，对不？
最后给你一个惊艳的例子：
例子： e（欧拉数）
你可以用二项式定理去计算 e （欧拉数）。
e = 2.718281828459045……. （数字无限延续，并不重复）
它可以用以下的公式来计算：
(1 + 1/n)n
（n 越大，值越准）
这公式是个二项式，对不？我们来用二项式定理：
首先，我们可以拿走 1n-k，因为他永远等于 1：
同时，奇妙的是，当n趋近无穷大，大部分剩下来的都趋近 1：
剩下来的是：
只把首几项加起来，我们得到 e ≈ 2.7083...
试试多算几项来得到更准确的近似值！
挑战 1 挑战 2
艾萨克·牛顿Isaac Newton
附注：在大约公元1665年，艾萨克·牛顿爵士发表了一个"广义"的二项式定理，它并不局限于整数的指数：0、1、2……希望将来我可以为你解释。
多项式 指数 杨辉三角 总和符号 代数索引